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一定の要件を充たせば扶養控除の対象にすることは可能です。父母の双方が子どもを扶養控除の対象として申告した場合、一方しか扶養控除は受けられません。

扶養控除の要件
子どもを扶養控除の対象とする場合の要件は、以下の通りとなっています（ただし、一般的なケースを想定したもので細かい要件は省略しています）。（所得税法２条１項34号、34号の２）
①　子どもが納税者と「生計を一にする」こと
②　子どもの所得金額が48万円以下であること
③　子どもが16歳以上であること

ここで問題となるのは、「生計を一にする」という要件です。
国税庁の解釈では、同居していれば原則として「生計を一にする」に該当し、同居していない場合でも、「常に生活費、学資金、療養費等の送金が行われている場合」には「生計を一にする」に該当することになっています（所得税基本通達２-47）。
より具体的には、養育費の支払が、「①扶養義務の履行として、②「成人に達するまで」など一定の年齢に限って行われるものである場合には、その支払われている期間については、原則として「生計を一にしている」ものとして扶養控除の対象として差し支えありません。」とされています（国税庁ＨＰ）。
そのため、離婚に伴い又は離婚後に、「養育費として、毎月〇〇円を、〇年〇月まで支払う。」といった具合に取り決めて支払っている場合は、扶養控除の対象とする要件を充たすことになります。

重複した場合の扱い
もっとも、１人の子どもを父母が重複して扶養控除の対象とすることはできません。
そして、父母が別々に扶養控除の申告をした場合には、確定申告書や給与所得者の扶養控除等申告書等による扶養控除の申告を先にした方が扶養控除できることとされています（所得税法施行令219条2項1号）。
これによって定まらないときは（申告の前後が不明だったり同時だったりした場合）、所得金額の多い方が扶養控除できることとなっています（所得税法施行令219条2項2号）。