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出生届は出さずに、(1)元夫に対する親子関係不存在確認の調停を申し立てて、審判で親子関係不存在を確定した上で届出をするか、(2)実父に対する認知調停を申し立てて、審判で実父との親子関係を確定して届出をする、という方法があります。

離婚した後の出産であっても、離婚から300日以内の出産だと、法律上、婚姻関係にあった父親の子どもだと推定されるので（民法772条2項）、そのまま届出をすると元夫の子どもとして扱われてしまいます。

これを回避する方法としては、出生届はひとまず出さないでおいた上で、母親が子どもの法定代理人として、(1)元夫に対する親子関係不存在確認の調停を申し立てて、審判で親子関係不存在を確定した上か、あるいは、(2)実父に対する認知調停を申し立てて、審判で実父との親子関係を確定した上で、出生の届出をする、という方法があります。

なお、出生届を出さないままだと児童手当などの行政上の手当を受けられません。
しかし、上記の調停を申し立てている場合には、「事件係属証明書」（調停を申し立てて裁判所で審理しているという証明書）を裁判所からもらい、これを添えて申し出ることで、出生届を出さないまま住民票に登録し、児童手当などを受けることができます。