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当事者が合意できれば合意で決まりますが、合意できない場合は家庭裁判所が決めます。家庭裁判所の決定に不服があれば、不服申立ても可能です。

１　裁判所で決める手続
いずれも、当事者間で合意ができれば、その合意が有効です。
合意できない場合には、家庭裁判所で決めることになります。
婚姻費用については、婚姻費用請求調停という調停手続によることになり、調停でも合意できない場合は、裁判所が「審判」という決定で定めます。
養育費については、離婚が判決になる場合には、通常、判決で養育費も決められます。離婚に際して養育費が取り決められなかった場合には、婚姻費用と同様に、養育費請求調停という調停手続によることになり、調停でも合意できない場合は、裁判所が審判で定めます。

２　金額の決め方
一般には、「算定表」に基づいて毎月の金額が定められます。
http://www.courts.go.jp/tokyo-f/saiban/tetuzuki/youikuhi_santei_hyou/
ただし、個々の事情によって種々の修正がなされることはあります。

３　家庭裁判所の審判に対する不服申立て
家庭裁判所が審判で婚姻費用・養育費を決めた場合、その内容に不服があれば「即時抗告」という不服申立てができます。
即時抗告は、審判の告知があった日（通常は、審判書謄本を受け取った日）の翌日から２週間以内に抗告状を家庭裁判所に提出します。抗告状に不服の理由を書いていない場合には、抗告状提出から更に２週間以内に不服の理由書（抗告理由書）を提出します。
その後は、高等裁判所で審理されることになります。一般には、書類の審査だけで判断されるので、高等裁判所に出席しないまま終わります。出席しないままでも結論が変わることはあります。