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可能です。ただし、勤務に影響することは考えておく必要があります。

残業代請求は正当な権利の行使なので、残業代請求したことを理由に不利な扱いをすることはできません。現実にも、在籍しながら残業代請求して金銭を支払わせている例もあります。
もっとも、昇給や配転など、雇用主の裁量が広く認められる事項で、不利に扱われる可能性は否定できないといわざるを得ません。
これを防止するとすれば、労働組合に加入して（できれば大勢の同僚とともに加入して）雇用主が安易に不利な扱いをできないようして残業代請求をするなど、雇用主に強いプレッシャーがかかる手立てを考える必要もあり得ます。